Математичка логика: елементи теорије скупова

Ова књига је написана на основу предавања, која су низ година аутори држали у оквиру курсева Математичка логика и Увод у математичку логику на Математичком факултету у Београду. Но, као што је то уобичајено у случају већине књига, у самој књизи налазе се и неке теме, које нису обрађиване у редовној настави, било због сложености појмова, било због недостатка времена. Књига је пре свега намењена студентима математике и информатике, али верујемо да ће бити од користи и професорима математике у средњим и осцовним школама.

Књига се састоји од три основна поглавља и три додатка.
Прво поглавље бави се најосновнијим конструкцијама у теорији скупова, дакле оним конструкцијама које се уче на самом почетку математичког образовања, у школској математици. У овој глави су, између осталих, уведени и појмови релације и функције. Поглавље се завршава одељком о аксиоми регуларности.

У другом поглављу разматрају се бесконачни скупови. Уводе се појмови пребројивости и непребројивости, као и наводе многи примери пребројивих и непребројивих скупова. Посебно истичемо да се у овом поглављу доказује и Кантор-Бернштајнова теорема као значајно оруђе у доказивању постојања бијекције међу појединим скуповима.

Треће поглавље посвећено је напреднијим темама. Оно почиње појмом ординала и доказују се основна тврђења из ординалне арит-метике. Затим се разматра аксиома избора, њени еквиваленти, као и прве последице. Крај овог поглавља посвећен је кардиналима и осно-вама кардиналне аритметике.

Сматрамо да су прва два поглавља уз додатак одељака из трећег поглавља посвећених аксиоми избора нарочито погодна за предавања у оквиру неког од уводних курсева из математичке логике на првој години студија.
Први додатак посвећен је парадоксу Банаха и Тарског. Овај до-датак подразумева нешто виши ниво математичке софистицираности читаоца.

Други додатак је намењен историјском излагању о почецима теорије скупова. Могу га читати и студенти прве године студија и сматрамо да им може бити корисно за боље разумевање не само основа теорије скупова него и других математичких тема и појмова.

Трећи додатак је посвећен Бореловим скуповима. Као и за први до-датак и за овај је пре свега неопходан нешто випш ниво математичког образовања читаоца.

Први и трећи додатак се могу излагати на предавањима на неком од напреднијих курсева математичке логике на редовним студијама, но могу бити и корисни као извор тема за семинарске радове на неком од таквих курсева.

Важан део књиге чине задаци. Као пзто добро знамо, „математика није спорт за гледаоце”. Задаци су неопходан део сваког математичког курса. У овој књизи, они се налазе на крају сваког од основних поглавља, док су њихова решења наведена у посебном поглављу. Важно је да читаоци најпре сами покушају да реше задатак пре него пгго по-траже његово решење. Тако ће од задатка имати знатно више користи, чак и ако не успеју да га реше. Наравно, уколико реше задатак, опет могу погледати и решење, можда непгто ново науче из њега!

Аутори књиге се посебно захваљују рецензентима др Милошу Кури-лићу и др Предрагу Тановићу на пажљивом читању књиге и многим корисним примедбама. Текст књиге су прочитали и наши аеистенти мр Ангелина Илић Степић и Славко Моцоња и сугерисали одређени број корекција, на чему им захваљујемо.

Аутори
Београд, јун 2011.

САДРЖАЈ

Предговор
1. Основни појмови 7
1.1. Формирање скупова................................ 8
1.2. Декартов производ скупова....................... 13
1.3. Функције........................................ 18
1.4. Добра заснованост............................... 27
1.5. Задаци за вежбу................................. 28

2. Коначни и бесконачни скупови 33
2.1. Аксиома бесконачности и природни бројеви........ 33
2.2. Коначни, пребројиви и непребројиви скупови...... 41
2.3. Кантор-Бернштајнова теорема..................... 49
2.4. Разни примери................................... 52
2.5. Задаци за вежбу................................. 56

3. Аксиома избора. Ординали и кардинали 61
3.1. Ординали........................................ 61
3.2. Ординална аритметика............................ 69
3.3. Аксиома избора и њени еквиваленти............... 78
3.4. Неке последице аксиоме избора................... 83
3.5. Кардинали....................................... 86
3.6. Задаци за вежбу................................. 94

4. Решења задатака 101
4.1. Задаци из прве главе............................101
4.2. Задаци из друге главе...........................113
4.3. Задаци из треће главе...........................128
Парадокс Банаха и Тарског 157
ПОЧЕЦИ ТЕОРИЈЕ СКУПОВА 165
Борелови скупови И КОНТИНУУМ ХИПОТЕЗА 189