Algebra

PREDGOVOR

Cilj ove knjige je da se sistematski izlože i preciziraju osnovni pojmovi savremene algebre. Namenjena je uglavnom studentima Matematičkog fakulteta u Beogradu, čime je, u dobroj meri, i uslovljen izbor i način tretiranja predstavljenog sadržaja.

Formalno, prvih pet poglavlja čine jednu zasebnu celinu prvi deo,
u kome se tretiraju oni pojmovi i sadržaji koji su neophodni za izlaganje jednog savremenog kursa lineame algebre, dok se u njenom drugom delu, to jest u poslednja tri poglavlja, oslanjajući se na neke pojmove i tehnike upravo lineame algebre, sa znatno više detalja analiziraju strukture već uvedenih pojmova: grupa, prstena i polja.

Prvo poglavlje je posvećeno preciziranju i konstrukciji nekih važnijih matematičkih objekata, uključujući tu i karakterisična svojstva samih prirodnih brojeva. U suštini, ono predstavlja jednu logičku organizaciju nekih pojmova, relevantnih za preostali sadržaj, o kojima je određena predstava stečena još u okviru školske matematike.

Drugo, treće i četvrto poglavlje pre svega treba shvatiti kao pregled osnovnih algebarskih struktura (monoidi, grupe, prsteni, polja, moduli, lineame algebre), uključujući tu i njihova osnovna svojstva, kao i neke važnije klase i primere takvih struktura.

Peto poglavlje je posvećeno polinomima sa koeficijentima iz datog prstena ili polja. U njemu su polinomi sa jednom neodređenom obrađeni sa više detalja, dok u okviru polinoma sa više neodređenih dominiraju osnovne teoreme o simetričnim i alternirajućim polinomima.

Šesto poglavlje se prirodno nadovezuje na treće, i predstavlja nešto detaljniju analizu normalne strukture grupa. To se posebno odnosi na paragraf o komutativnim grupama konačnog tipa, u kome su formulacije i dokazi tvrđenja podešeni tako da se mogu direktno preneti i na znatno opštije forme o kojima je reč u narednom poglavlju. Uz sistematizaciju klasičnih grupa, tu je takođe data i klasifikacija konačnih grupa rotacija euklidskog prostora dimenzije tri.

U seđmom poglavlju je reč o osnovnim svojstvima nekih klasičnih prstena, sa posebnim osvrtom na, kako glavne domene, tako i konačno generisane module nad takvim domenima, sa primenom na određivanje kanonskih formi matrica nad poljem i linearnih operatora na vektorskim prostorima konačnih dimenzija.

Najzad, u osmom poglavlju se tretira problematika u vezi sa poljima, kao što su algebarska raširenja polja, korenska polja polinoma i Galuaovu teoriju, sa posebnim osvrtima na konstruktibilne brojeve, konačna polja i rešivost algebarskih jednačina radikalima.

U završnoj verziji rukopisa, više mojih kolega je čitalo pojedina od tih poglavlja. To se posebno odnosi na, još uvek studente matematike, Đorđa Milićevića i Marka Stošića, zatim «Natašu, Ivu, Mariju, Zlatka i Gorana», kao i Jelenu Đokić i Irenu Simić. Njihova zapažanja su bez sumnje doprinela da broj mogućih grešaka bude znatno manji, na čemu im se najlepše zahvaljujem.

Beograd, april, 2011
G. Kalajdžić

SADRŽAJ

Predgovor, iii
Uvod, xi

1. PRIRODNI BROJEVI

1.1 Relacije i funkcije, 1
1. Uređen par, 1
2. Pridruživanje i relacija, 2
3. Funkcija ili preslikavanje, 4
4. Relacija ekvivalencije, 7
5. Relacija poretka, 9

1.2 Prirodni brojevi, 10
1. Skup prirodnih brojeva, 10
2. Sabiranje i množenje, 13
3. Poredak, *, 15
4. Princip najmanjeg elementa, 16
5. Deljivost, 18
6. Faktorizacija, 20

1.3 Sistemi i familije, 21
1. Konačni skupovi, 21
2. Sistem, 22
3. Familija, 23
4. Matrica, 25
5. Permutacija, 25
6. Kombinacija, 26

2. MONOIDI I GRUPE

2.1 Algebarske operacije, 29
1. Binarna operacija, 29
2. Spoljna operacija, 32
3. Podoperacija, 33
4. Saglasnost i homomorfizam, 34
5. Kongruencija, 37
6. Algebarska struktura, 39

2.2 Monoidi, 41
1. Polugrupa, 41
2. Monoid, 45
3. Podmonoidi i homomorfizmi, 49
4. Razlomci nad monoidom, 51

2.3 Grupe, 55
1. Pojam grupe, 55
2. Primeri grupe
3. Podgurupe
4. Generatori
5. Red elemenat
6. Homomorfizam
7. Ciklična grupa
8. Simetrična grupa, 81
9. Grupe malog reda, 89

3. PRSTENI 1 POLJA

3.1 Prsteni, 93
1. Pojam prstena, 93
2. Pravila računanja, 96
3. Potprsteni i ideali, 99
4. Karakteristika prstena, 102
5. Delitelji nule i oblast celih, 103
6. Kongruencije celih brojeva, 106

3.2 Polja, 113
1. Pojam tela i polja, 113
2. Polje racionalnih brojeva, 114
3. Polje realnih brojeva, 117
4. Polje kompleksnih brojeva, 121

4. MODULI I ALGEBRE

4.1 Moduli, 127
1. Pojam modula, 127
2. Podmoduli i homomorfizmi, I29
3. Linearna nezavisnost, 130

4.2 Algebre, 132
1. Linearna algebra, 132

4.3 Komutativne grupe, 219
1. Slobodne komutativne grupe, 219
2. Komutativne grupe konačnog tipa, 226
3. Generatori i relacije, 233

4.4 Klasične grupe, 237
1. Linearna grupa, 237
2. Unitarna grupa, — 238
3. Ortogonalna grupa, 239
4. Afina grupa, 241
5. Grupa izometrija, 242
6. Konačne grupe rotacija, — 243

...

7. PRSTENI I MODULI

7.1 Ideali prstena, 249
1. Količnički prsten, 249
2. Teoreme o izomorfizmima, 252
3. Prosti i maksimalni ideali, 256

7.2 Klasični prsteni, 259
1. Deljivost i glavni ideali, 259
2. Paktorizacija, 263
3. Glavni domeni, 268
4. Euklidski domeni, 273

7.3 Moduli, 277
1. Količnički modul, 277
2. Slobodni moduli, 280
3. Moduli nad glavnim domenima, 282

7.4 Kanonske forme matrica, 287
1. Redukcije matrice i operatora, 287
2. Modul linearnog operatora, 289
3. Ciklični operatori, 290
4. Normalna forma, 291
5. Elementarna forma, 294
6. Karakteristična forma, 297

8. POLJA

8.1 Raširenja polja, 303
1. Pojam i stepen raširenja, 303
2. Prosta raširenja, 304
3. Algebarska raširenja, 30
4. Konstruktibilni brojevi, 309
5. Korensko polje polinoma, 312
6. Normalna raširenja, 317
7. Separabilna raširenja, 318

8.2 Galuaova teorija, 322
1. Automorfizmi i konjugacija, 322
2. Galuaova raširenja, 326
3. Ciklotomična raširenja, 332
4. Konačna polja, 335

8.3 Algebarske jednačine, 338
1. Galuaova grupa polinoma, 338
2. Radikalska raširenja, 342
3. Rešivost jednačine radikalima, 344

Literatura, 347
Indeks, 349