Parcijalne diferencijalne jednačine

Ovaj udžbenik je pisan po važećem programu predmeta Viši kurs Matematike - Parcijalne diferencijalne jednačine za studente doktorskih studija Mašinskog fakulteta u Kraljevu, Univerziteta u Kragujevcu. Mogu ga koristiti i studenti akademskih, master i doktorskih studija drugih fakulteta. Materijal je izložen u 8 glava. Pored uvodne glave, detaljno su obrađene parcijalne diferencijalne jednačine prvog i drugog reda, uključujuči granične i početne uslove. Najveća pažnja posvećena je jednačinama matematičke fizike: Dalamberovoj, Furijerovoj i Laplasovoj jednačini. Za rešavanje problema matematičke fzike najviše je primenjivana Furierova metoda razdvajanja promenljivih. Pored nekih integralnim transfomracija korišćene su i specijalne funkcije. Pitanje korektnosti nekih problema u teorijskoj fizici je takođe dotaknuto. Navedeno je i više primera koji ilustruju izložene teorijske postavke. Unapred sam zahvalan svima koji mi pošalju svoje primedbe, odnosno ukažu na greške ili propuste u ovoj knjizi.
Autor

SADRŽAJ

1 Uvod, 5
1.1 Definicije pojmova i oznake, 6
1.2 Formiranje parcijalnih jednačina, 8
1.3 Vrste rešenja parcijalnih jednačina, 12

2 Parcijalne jednačine prvog reda, 15
2.1 Linearna, homogena jednačina, 15
2.2 Kvazilinearna jednačina, 17
2.3 Košijevo rešenje kvazilinearne jednačine, 18
2.4 Lagranžova teorija integrala, 18
2.5 Pfafova jednačina, 19
2.6 Lagranž-Šarpitov metod, 22
2.7 Šarpitov sistem jednačina, 23
2.8 Zadaci, 25

3 Parcijalne jednačine drugog reda, 33
3.1 Jednačina žice koja treperi, 33
3.2 Ojlerova jednačina, 34
3.3 Klasifikacija jednačina drugog reda, 37
3.4 Svođenje jednačina na kanonični oblik, 37
3.5 Laplasova teorija, 41
3.6 Metod Saltikova, 45
3.7 Jednačina sa konstantnim koeficijentima, 48
3.8 Primena Laplasove transformacije, 51

4 Jednačine matematičke fizike, 53
4.1 Opšte osobine, 54
4.2 Furierov metod razdvajanja promenljivih, 55

5 Jednačine b.iperboličkog tipa, 61
5.l Jednačina žice koja treperi, 66
5.2 Rimanov metod, 68
5.3 Telegrafska jednačina, 70
5.4 Volterav metod, 75
5.5 Gursatov metod, 79

6 Jednačine paraboličkog tipa, 83
6.1 Slučaj neograničenog štapa, 94
6.2 Slučaj poluognmičenog štapa, 97
6.3 Slučaj trodimenzionalne sredine, 98
6.4 Poseban slučaj, 103

7 Jednačine eliptičkog tipa, 105
7.1 Grinova formula, 105
7.2 Hannonijske funkcije, 106
7.3 Dirihleovi problemi, 108

8 Dodatak, 117
8.1 Integralne transformacije i primene, 117
8.2 Šredingerova jednačina, 121
8.3 Harmonijski oscilator, 121
8.4 Kretanje elektrona u Coulombovom polju, 122
8.5 Uticaj oblasti na rešenja jednačina, 123
8.6 Korektnost problema matematičke fizike, 124
8.7 Zadaci, 125